For what value of x is the statement MATHSTART \frac{x}{27}\times\frac{x}{108}=1 MATHEND true?
x के किस मान के लिए कथन MATHSTART \frac{x}{27}\times\frac{x}{108}=1 MATHEND सत्य है?
Solution / समाधान
Given: MATHSTART \frac{x}{27}\times\frac{x}{108}=1 MATHEND. Multiplying both sides by 27 × 108, we get MATHSTART x^2=27 imes108=2916 MATHEND. Taking the square root, MATHSTART x=\sqrt{2916}=54 MATHEND. Therefore, the correct answer is 54.
दिया गया है: MATHSTART \frac{x}{27}\times\frac{x}{108}=1 MATHEND। दोनों पक्षों में 27 × 108 से गुणा करने पर, MATHSTART x^2=27 imes108=2916 MATHEND। वर्गमूल लेने पर, MATHSTART x=\sqrt{2916}=54 MATHEND। अतः सही उत्तर 54 है।
Two numbers are in the ratio 5:9. When 4 is subtracted from the first number and 6 is added to the second number, the resulting ratio becomes 1:2. Find the sum of the original numbers.
दो संख्याएँ 5:9 के अनुपात में हैं। जब पहली संख्या में से 4 घटाया जाता है और दूसरी संख्या में 6 जोड़ा जाता है, तो परिणामी अनुपात 1:2 हो जाता है। मूल संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Let the numbers be 5x and 9x. According to the question, MATHSTART \frac{5x-4}{9x+6}=\frac12 MATHEND. Therefore, MATHSTART 2(5x-4)=9x+6 MATHEND, so MATHSTART 10x-8=9x+6 MATHEND, giving MATHSTART x=14 MATHEND. The sum is MATHSTART 5x+9x=14x=14 imes14=\boxed{196} MATHEND.
मान लीजिए संख्याएँ 5x और 9x हैं। प्रश्नानुसार, MATHSTART \frac{5x-4}{9x+6}=\frac12 MATHEND। अतः MATHSTART 2(5x-4)=9x+6 MATHEND, इसलिए MATHSTART 10x-8=9x+6 MATHEND, जिससे MATHSTART x=14 MATHEND। मूल संख्याओं का योग MATHSTART 5x+9x=14x=14 imes14=\boxed{196} MATHEND है।
X and Y started a business by investing in the ratio 5:4. After 8 months, X withdrew his entire amount. If the profit at the end of the year was divided in the ratio 5:9, for how many months did Y invest his money?
X और Y ने 5:4 के अनुपात में निवेश करके एक व्यवसाय शुरू किया। 8 महीने बाद, X ने अपनी पूरी राशि निकाल ली। यदि वर्ष के अंत में लाभ को 5:9 के अनुपात में बाँटा गया, तो Y ने कितने महीनों के लिए अपना पैसा निवेश किया?
Solution / समाधान
Profit is proportional to investment multiplied by time. Let the investments of X and Y be 5x and 4x, and let Y invest for t months. Then MATHSTART \frac{5x imes8}{4x\times t}=\frac59 MATHEND. Cross-multiplying gives MATHSTART 40 imes9=20t MATHEND, so MATHSTART t=18 MATHEND months. Note: This result conflicts with the stated one-year duration if both partners started together; the original question may contain an error.
लाभ निवेश की राशि और समय के गुणनफल के समानुपाती होता है। मान लीजिए X और Y के निवेश 5x और 4x हैं तथा Y ने t महीने निवेश किया। तब MATHSTART \frac{5x imes8}{4x\times t}=\frac59 MATHEND। क्रॉस गुणा करने पर MATHSTART 40 imes9=20t MATHEND, इसलिए MATHSTART t=18 MATHEND महीने। ध्यान दें: यदि दोनों ने एक साथ व्यवसाय शुरू किया था, तो यह परिणाम एक वर्ष की अवधि से मेल नहीं खाता। मूल प्रश्न में त्रुटि हो सकती है।
Suresh's monthly income is ₹18,000 and his monthly expenditure is ₹12,000. In the next year, his income increases by 20% and his expenditure increases by 15%. Find the percentage increase in his savings.
सुरेश की मासिक आय ₹18,000 और उसका मासिक खर्च ₹12,000 है। अगले साल, उसकी आय में 20% की वृद्धि होती है और उसके खर्च में 15% की वृद्धि होती है। उसकी बचत में हुई प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Original savings = MATHSTART 18000-12000=6000 MATHEND ₹. New income = MATHSTART 18000 imes1.20=21600 MATHEND ₹. New expenditure = MATHSTART 12000 imes1.15=13800 MATHEND ₹. New savings = MATHSTART 21600-13800=7800 MATHEND ₹. Increase in savings = MATHSTART 7800-6000=1800 MATHEND ₹. Percentage increase = MATHSTART \frac{1800}{6000} imes100 MATHEND = 30%.} MATHEND.
प्रारंभिक बचत = MATHSTART 18000-12000=6000 MATHEND ₹। नई आय = MATHSTART 18000 imes1.20=21600 MATHEND ₹। नया खर्च = MATHSTART 12000 imes1.15=13800 MATHEND ₹। नई बचत = MATHSTART 21600-13800=7800 MATHEND ₹। बचत में वृद्धि = MATHSTART 7800-6000=1800 MATHEND ₹। बचत में प्रतिशत वृद्धि = MATHSTART \frac{1800}{6000} imes100 MATHEND = 30%.
A person invested a certain sum at 10% per annum simple interest. After 4 years, the interest earned was ₹3,600 less than the amount invested. What was the amount invested?
एक व्यक्ति ने 10% वार्षिक साधारण ब्याज की दर पर एक निश्चित राशि का निवेश किया। 4 वर्षों के बाद, अर्जित ब्याज निवेश की गई राशि से ₹3,600 कम था। निवेश की गई राशि कितनी थी?
Solution / समाधान
Let the principal be P. Simple interest for 4 years at 10% per annum is MATHSTART SI=\frac{P imes10 imes4}{100}=0.4P MATHEND. The principal exceeds the interest by 3,600, so MATHSTART P-0.4P=3600 MATHEND. Thus, MATHSTART 0.6P=3600 MATHEND, giving MATHSTART P=\frac{3600}{0.6}=\boxed{6000} MATHEND.
मान लीजिए मूलधन P है। 10% वार्षिक दर से 4 वर्षों का साधारण ब्याज MATHSTART SI=\frac{P imes10 imes4}{100}=0.4P MATHEND होगा। मूलधन, ब्याज से 3,600 अधिक है, इसलिए MATHSTART P-0.4P=3600 MATHEND। अतः MATHSTART 0.6P=3600 MATHEND, जिससे MATHSTART P=\frac{3600}{0.6}=\boxed{6000} MATHEND।
Find the total amount on investing ₹6,400 at 5% compound interest per annum for 3 years.
₹6,400 को 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्षों के लिए निवेश करने पर कुल राशि ज्ञात करें।
Solution / समाधान
The compound amount formula is MATHSTART A=P\left(1+\frac{R}{100}\right)^T MATHEND. Substituting the values, MATHSTART A=6400\left(1+\frac5{100}\right)^3 MATHEND. Therefore, MATHSTART A=6400(1.05)^3=6400 imes1.157625=\boxed{7408.80} MATHEND ₹.
चक्रवृद्धि राशि का सूत्र है MATHSTART A=P\left(1+\frac{R}{100}\right)^T MATHEND। मान रखने पर MATHSTART A=6400\left(1+\frac5{100}\right)^3 MATHEND। अतः MATHSTART A=6400(1.05)^3=6400 imes1.157625=\boxed{7408.80} MATHEND ₹।
If MATHSTART a+\frac1a=2 MATHEND, find MATHSTART a^{2021}+\frac1{a^{2027}} MATHEND.
यदि MATHSTART a+\frac1a=2 MATHEND, तो MATHSTART a^{2021}+\frac1{a^{2027}} MATHEND ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Given MATHSTART a+\frac1a=2 MATHEND. Multiplying by a gives MATHSTART a^2+1=2a MATHEND. Hence, MATHSTART a^2-2a+1=0 MATHEND, so MATHSTART (a-1)^2=0 MATHEND and MATHSTART a=1 MATHEND. Therefore, MATHSTART a^{2021}+\frac1{a^{2027}}=1+1=\boxed{2} MATHEND.
दिया गया है MATHSTART a+\frac1a=2 MATHEND। a से गुणा करने पर MATHSTART a^2+1=2a MATHEND। अतः MATHSTART a^2-2a+1=0 MATHEND, इसलिए MATHSTART (a-1)^2=0 MATHEND और MATHSTART a=1 MATHEND। इस प्रकार MATHSTART a^{2021}+\frac1{a^{2027}}=1+1=\boxed{2} MATHEND।
The side of a regular hexagon is equal to the side of a square. If the perimeter of the square is 24 cm, find the perimeter of the hexagon.
एक सम-षट्भुज की भुजा एक वर्ग की भुजा के बराबर है। यदि वर्ग का परिमाप 24 cm है, तो षट्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
The side of the square is MATHSTART \frac{24}{4}=6 MATHEND cm. The side of the regular hexagon is also 6 cm. A regular hexagon has 6 equal sides, so its perimeter is MATHSTART 6 imes6=\boxed{36\text{ cm}} MATHEND.
वर्ग की भुजा MATHSTART \frac{24}{4}=6 MATHEND cm है। सम-षट्भुज की भुजा भी 6 cm है। सम-षट्भुज की 6 बराबर भुजाएँ होती हैं, इसलिए उसका परिमाप MATHSTART 6 imes6=\boxed{36\text{ cm}} MATHEND है।
If MATHSTART 8x^3-27y^3=(2x-3y)(Mx^2+Ny^2+Oxy) MATHEND, find MATHSTART M^2+N^2+O^2 MATHEND.
यदि MATHSTART 8x^3-27y^3=(2x-3y)(Mx^2+Ny^2+Oxy) MATHEND, तो MATHSTART M^2+N^2+O^2 MATHEND ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Using the difference of cubes identity, MATHSTART a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) MATHEND. Therefore, MATHSTART 8x^3-27y^3=(2x)^3-(3y)^3=(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2) MATHEND. Comparing coefficients gives M=4, N=9 and O=6. Hence, MATHSTART M^2+N^2+O^2=4^2+9^2+6^2=16+81+36=\boxed{133} MATHEND.
घनों के अंतर का सूत्र है MATHSTART a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) MATHEND। इसलिए MATHSTART 8x^3-27y^3=(2x)^3-(3y)^3=(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2) MATHEND। गुणांकों की तुलना करने पर M=4, N=9 और O=6 मिलता है। अतः MATHSTART M^2+N^2+O^2=4^2+9^2+6^2=16+81+36=\boxed{133} MATHEND।
The average age of a committee of 12 members is 40 years. A member aged 55 years resigns, and a new member aged 31 years joins in his place. What will be the new average age of the committee?
12 सदस्यों की एक समिति की औसत आयु 40 वर्ष है। 55 वर्ष की आयु का एक सदस्य सेवानिवृत्त हो जाता है और उसके स्थान पर 31 वर्ष की आयु का एक नया सदस्य आ जाता है। समिति की नई औसत आयु क्या होगी?
Solution / समाधान
Original total age = MATHSTART 12 imes40=480 MATHEND years. The 55-year-old member is replaced by a 31-year-old member. New total age = MATHSTART 480-55+31=456 MATHEND years. The number of members remains 12. Therefore, the new average age is MATHSTART \frac{456}{12}=\boxed{38\text{ years}} MATHEND.
प्रारंभिक कुल आयु = MATHSTART 12 imes40=480 MATHEND वर्ष। 55 वर्ष के सदस्य के स्थान पर 31 वर्ष का सदस्य आता है। नई कुल आयु = MATHSTART 480-55+31=456 MATHEND वर्ष। सदस्यों की संख्या 12 ही रहती है। अतः नई औसत आयु MATHSTART \frac{456}{12}=\boxed{38\text{ वर्ष}} MATHEND है।
A chord of a circle of radius 21 cm subtends an angle of 120 degrees at the centre. Find the length of the arc. Use MATHSTART \pi=\frac{22}{7} MATHEND.
21 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक चाप केंद्र पर 120 डिग्री का कोण बनाती है। उस चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए। MATHSTART \pi=\frac{22}{7} MATHEND लें।
Solution / समाधान
Arc length = MATHSTART \frac{\theta}{360^\circ} imes2\pi r MATHEND. Substituting MATHSTART \theta=120^\circ MATHEND and MATHSTART r=21 MATHEND cm, we get MATHSTART \frac{120}{360} imes2\times\frac{22}{7} imes21=\frac13 imes132=\boxed{44\text{ cm}} MATHEND.
चाप की लंबाई = MATHSTART \frac{\theta}{360^\circ} imes2\pi r MATHEND। MATHSTART \theta=120^\circ MATHEND और MATHSTART r=21 MATHEND cm रखने पर MATHSTART \frac{120}{360} imes2\times\frac{22}{7} imes21=\frac13 imes132=\boxed{44\text{ cm}} MATHEND।
Given that the cost price of 20 articles is equal to the selling price of x articles, and the profit percentage is 25%, find the value of x.
यह देखते हुए कि 20 वस्तुओं का क्रय मूल्य x वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है, और लाभ प्रतिशत 25% है, x का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Let the cost price of one article be ₹100. With a profit of 25%, the selling price of one article is ₹125. The cost price of 20 articles is MATHSTART 20 imes100=2000 MATHEND ₹. Since the cost price of 20 articles equals the selling price of x articles, MATHSTART 125x=2000 MATHEND. Therefore, MATHSTART x=\frac{2000}{125}=\boxed{16} MATHEND.
मान लीजिए एक वस्तु का क्रय मूल्य ₹100 है। 25% लाभ होने पर एक वस्तु का विक्रय मूल्य ₹125 होगा। 20 वस्तुओं का क्रय मूल्य MATHSTART 20 imes100=2000 MATHEND ₹ है। प्रश्नानुसार, MATHSTART 125x=2000 MATHEND। अतः MATHSTART x=\frac{2000}{125}=\boxed{16} MATHEND।
An article marked at ₹x is sold for ₹4,400 after a discount of 12%. Find the value of x.
एक वस्तु, जिसका अंकित मूल्य ₹x था, 12% की छूट के बाद ₹4,400 में बेची गई। x का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
After a 12% discount, the selling price is 88% of the marked price. Therefore, MATHSTART \frac{88}{100}\times x=4400 MATHEND. Hence, MATHSTART x=\frac{4400 imes100}{88}=\boxed{5000} MATHEND ₹.
12% की छूट के बाद विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य का 88% होता है। अतः MATHSTART \frac{88}{100}\times x=4400 MATHEND। इसलिए MATHSTART x=\frac{4400 imes100}{88}=\boxed{5000} MATHEND ₹।
Simplify: MATHSTART (\sin A+\cosec A)^2+(\cos A+\sec A)^2-(\tan^2 A+\cot^2 A) MATHEND.
सरल कीजिए: MATHSTART (\sin A+\cosec A)^2+(\cos A+\sec A)^2-(\tan^2 A+\cot^2 A) MATHEND।
Solution / समाधान
Expanding the expression gives MATHSTART \sin^2 A+\cosec^2 A+2+\cos^2 A+\sec^2 A+2-\tan^2 A-\cot^2 A MATHEND. Using MATHSTART \sin^2 A+\cos^2 A=1 MATHEND, MATHSTART \sec^2 A-\tan^2 A=1 MATHEND and MATHSTART \cosec^2 A-\cot^2 A=1 MATHEND, the expression becomes MATHSTART 1+1+1+2+2=\boxed{7} MATHEND.
व्यंजक को खोलने पर MATHSTART \sin^2 A+\cosec^2 A+2+\cos^2 A+\sec^2 A+2-\tan^2 A-\cot^2 A MATHEND मिलता है। सर्वसमिकाओं MATHSTART \sin^2 A+\cos^2 A=1 MATHEND, MATHSTART \sec^2 A-\tan^2 A=1 MATHEND और MATHSTART \cosec^2 A-\cot^2 A=1 MATHEND का प्रयोग करने पर व्यंजक MATHSTART 1+1+1+2+2=\boxed{7} MATHEND हो जाता है।
In triangle ABC, the lengths of the altitudes AD, BE and CF are 9 cm, 12 cm and 15 cm, respectively. Find the area of triangle ABC.
त्रिभुज ABC में, शीर्षलंबों AD, BE और CF की लंबाइयाँ क्रमशः 9 cm, 12 cm और 15 cm हैं। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
The area of a triangle can be calculated using MATHSTART K=\frac12\times\text{base}\times\text{corresponding altitude} MATHEND. However, the three stated altitudes of 9 cm, 12 cm and 15 cm are not mutually consistent with a single triangle. The image marks option C, 72 cm^2, as the answer, but this value cannot be verified from the given data. Please check the original question before publishing.
त्रिभुज का क्षेत्रफल MATHSTART K=\frac12\times\text{आधार}\times\text{संगत शीर्षलंब} MATHEND से निकाला जाता है। हालाँकि, दिए गए 9 cm, 12 cm और 15 cm के तीनों शीर्षलंब किसी एक त्रिभुज के लिए परस्पर संगत नहीं हैं। चित्र में विकल्प C, 72 cm^2, को सही उत्तर दिखाया गया है, लेकिन दिए गए आँकड़ों से इसकी पुष्टि नहीं की जा सकती। प्रकाशित करने से पहले मूल प्रश्न की जाँच करें।
Simplify the expression: MATHSTART (\sin\theta+\cosec\theta)^2+(\cos\theta+\sec\theta)^2-(\tan\theta+\cot\theta)^2 MATHEND.
व्यंजक को सरल कीजिए: MATHSTART (\sin\theta+\cosec\theta)^2+(\cos\theta+\sec\theta)^2-(\tan\theta+\cot\theta)^2 MATHEND।
Solution / समाधान
Expanding and using MATHSTART \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 MATHEND, the expression simplifies to MATHSTART 1+\sec^2\theta-\tan^2\theta+\cosec^2\theta-\cot^2\theta+2 MATHEND. Since MATHSTART \sec^2\theta-\tan^2\theta=1 MATHEND and MATHSTART \cosec^2\theta-\cot^2\theta=1 MATHEND, the value is MATHSTART 1+1+1+2=\boxed{5} MATHEND.
व्यंजक को खोलकर MATHSTART \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 MATHEND का प्रयोग करने पर यह MATHSTART 1+\sec^2\theta-\tan^2\theta+\cosec^2\theta-\cot^2\theta+2 MATHEND बनता है। चूँकि MATHSTART \sec^2\theta-\tan^2\theta=1 MATHEND और MATHSTART \cosec^2\theta-\cot^2\theta=1 MATHEND हैं, इसलिए मान MATHSTART 1+1+1+2=\boxed{5} MATHEND है।
If MATHSTART \sin\theta-\cos\theta=\frac45 MATHEND, find the value of MATHSTART \sin\theta+\cos\theta MATHEND.
यदि MATHSTART \sin\theta-\cos\theta=\frac45 MATHEND है, तो MATHSTART \sin\theta+\cos\theta MATHEND का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Use the identity MATHSTART (\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2 MATHEND. Substituting MATHSTART \sin\theta-\cos\theta=\frac45 MATHEND gives MATHSTART (\sin\theta+\cos\theta)^2=2-\frac{16}{25}=\frac{34}{25} MATHEND. Hence MATHSTART \sin\theta+\cos\theta=\pm\frac{\sqrt{34}}5 MATHEND. The positive value among the given options is MATHSTART \boxed{\frac{\sqrt{34}}5} MATHEND.
सर्वसमिका MATHSTART (\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2 MATHEND का प्रयोग करें। MATHSTART \sin\theta-\cos\theta=\frac45 MATHEND रखने पर MATHSTART (\sin\theta+\cos\theta)^2=2-\frac{16}{25}=\frac{34}{25} MATHEND। अतः MATHSTART \sin\theta+\cos\theta=\pm\frac{\sqrt{34}}5 MATHEND। दिए गए विकल्पों में धनात्मक मान MATHSTART \boxed{\frac{\sqrt{34}}5} MATHEND है।
If MATHSTART \sec^2\theta+\tan^2\theta=\frac7{12} MATHEND, find MATHSTART \sec^4\theta-\tan^4\theta MATHEND.
यदि MATHSTART \sec^2\theta+\tan^2\theta=\frac7{12} MATHEND, तो MATHSTART \sec^4\theta-\tan^4\theta MATHEND का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Using the difference of squares, MATHSTART \sec^4\theta-\tan^4\theta=(\sec^2\theta-\tan^2\theta)(\sec^2\theta+\tan^2\theta) MATHEND. Since MATHSTART \sec^2\theta-\tan^2\theta=1 MATHEND, the expression formally becomes MATHSTART 1\times\frac7{12}=\boxed{\frac7{12}} MATHEND. Note: The given condition is impossible for real theta because MATHSTART \sec^2\theta+\tan^2 hetageq1 MATHEND.
वर्गों के अंतर के सूत्र से MATHSTART \sec^4\theta-\tan^4\theta=(\sec^2\theta-\tan^2\theta)(\sec^2\theta+\tan^2\theta) MATHEND। चूँकि MATHSTART \sec^2\theta-\tan^2\theta=1 MATHEND, इसलिए बीजगणितीय रूप से मान MATHSTART 1\times\frac7{12}=\boxed{\frac7{12}} MATHEND मिलता है। ध्यान दें: वास्तविक theta के लिए दी गई शर्त संभव नहीं है, क्योंकि MATHSTART \sec^2\theta+\tan^2 hetageq1 MATHEND।
Two parallel chords are drawn on opposite sides of the centre of a circle of radius 17 cm. The length of one chord is 16 cm, and the distance between the chords is 23 cm. Find the difference between the lengths of the two chords (in cm).
17 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त में, केंद्र के विपरीत पक्षों पर दो समानांतर जीवाएँ खींची गई हैं। एक जीवा की लंबाई 16 cm है तथा उनके बीच की दूरी 23 cm है। दोनों जीवाओं की लंबाइयों के बीच का अंतर (cm में) ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
The perpendicular from the centre bisects a chord. Half of the 16 cm chord is 8 cm. Its distance from the centre is MATHSTART \sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15 MATHEND cm. Since the chords lie on opposite sides of the centre, the distance of the other chord from the centre is MATHSTART 23-15=8 MATHEND cm. Half of the other chord is MATHSTART \sqrt{17^2-8^2}=15 MATHEND cm, so its full length is 30 cm. Difference = MATHSTART 30-16=\boxed{14\text{ cm}} MATHEND.
केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। 16 cm की जीवा का आधा 8 cm है। केंद्र से इसकी दूरी MATHSTART \sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15 MATHEND cm है। जीवाएँ केंद्र के विपरीत पक्षों पर हैं, इसलिए दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी MATHSTART 23-15=8 MATHEND cm होगी। दूसरी जीवा का आधा MATHSTART \sqrt{17^2-8^2}=15 MATHEND cm है, इसलिए उसकी पूरी लंबाई 30 cm है। अंतर = MATHSTART 30-16=\boxed{14\text{ cm}} MATHEND।
A jar contains a mixture of liquids A and B in the ratio 3:1. When 16 litres of the mixture is removed from the jar and 9 litres of B is added, the ratio becomes 3:4. How many litres of A were initially present in the jar?
एक जार में द्रव A और B का मिश्रण 3:1 के अनुपात में है। जब मिश्रण का 16 लीटर निकाल लिया जाता है और जार में 9 लीटर द्रव B डाल दिया जाता है, तो अनुपात 3:4 हो जाता है। जार में प्रारंभिक रूप से कितने लीटर द्रव A था?
Solution / समाधान
Let the initial quantities of A and B be 3x and x litres. Removing 16 litres of mixture in the ratio 3:1 removes 12 litres of A and 4 litres of B. After adding 9 litres of B, A = MATHSTART 3x-12 MATHEND and B = MATHSTART x-4+9=x+5 MATHEND. The new ratio is MATHSTART \frac{3x-12}{x+5}=\frac34 MATHEND. Thus, MATHSTART 4(3x-12)=3(x+5) MATHEND, giving MATHSTART 12x-48=3x+15 MATHEND, so MATHSTART x=7 MATHEND. Initial quantity of A = MATHSTART 3x=3 imes7=\boxed{21\text{ litres}} MATHEND.
मान लीजिए A और B की प्रारंभिक मात्राएँ क्रमशः 3x और x लीटर हैं। 3:1 के अनुपात में 16 लीटर मिश्रण निकालने पर A के 12 लीटर और B के 4 लीटर निकलेंगे। 9 लीटर B डालने के बाद A = MATHSTART 3x-12 MATHEND और B = MATHSTART x-4+9=x+5 MATHEND होगा। नया अनुपात MATHSTART \frac{3x-12}{x+5}=\frac34 MATHEND है। अतः MATHSTART 4(3x-12)=3(x+5) MATHEND, जिससे MATHSTART 12x-48=3x+15 MATHEND और MATHSTART x=7 MATHEND। A की प्रारंभिक मात्रा = MATHSTART 3x=3 imes7=\boxed{21\text{ लीटर}} MATHEND।
The total surface area of a hemisphere is 462 cm^2. Find its curved surface area. Use MATHSTART \pi=\frac{22}{7} MATHEND.
एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 cm^2 है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। MATHSTART \pi=\frac{22}{7} MATHEND का प्रयोग करें।
Solution / समाधान
The total surface area of a hemisphere is MATHSTART 3\pi r^2 MATHEND. Therefore, MATHSTART 3\times\frac{22}{7}\times r^2=462 MATHEND, giving MATHSTART r^2=49 MATHEND. The curved surface area is MATHSTART 2\pi r^2=2\times\frac{22}{7} imes49=\boxed{308\text{ cm}^2} MATHEND.
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल MATHSTART 3\pi r^2 MATHEND होता है। अतः MATHSTART 3\times\frac{22}{7}\times r^2=462 MATHEND, जिससे MATHSTART r^2=49 MATHEND मिलता है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल MATHSTART 2\pi r^2=2\times\frac{22}{7} imes49=\boxed{308\text{ cm}^2} MATHEND है।
Suppose a triangle ABC circumscribes a circle of radius 4 cm. The lengths of the line segments BD and DC are 8 cm and 6 cm, respectively. Find the lengths of sides AB and AC.
मान लीजिए, एक त्रिभुज ABC है जो 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को परिगत करता है। रेखाखंड BD और DC की लंबाइयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। भुजाओं AB और AC की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Tangents drawn from the same external point to a circle are equal. Let the tangent lengths from A be x cm. Then AB = MATHSTART x+8 MATHEND and AC = MATHSTART x+6 MATHEND. Also, BC = MATHSTART 8+6=14 MATHEND cm. The semiperimeter is MATHSTART s=\frac{(x+8)+(x+6)+14}{2}=x+14 MATHEND. Since the triangle circumscribes a circle of radius 4 cm, its area is MATHSTART K=rs=4(x+14) MATHEND. By Heron's formula, MATHSTART K^2=s(s-AB)(s-AC)(s-BC) MATHEND, so MATHSTART (4(x+14))^2=(x+14) imes6 imes8\times x MATHEND. Simplifying gives MATHSTART x=7 MATHEND. Therefore, MATHSTART AB=7+8=15 MATHEND cm and MATHSTART AC=7+6=13 MATHEND cm.
एक ही बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। मान लीजिए A से खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाई x cm है। तब AB = MATHSTART x+8 MATHEND और AC = MATHSTART x+6 MATHEND। साथ ही BC = MATHSTART 8+6=14 MATHEND cm। अर्धपरिमाप MATHSTART s=\frac{(x+8)+(x+6)+14}{2}=x+14 MATHEND है। त्रिभुज में अंतःवृत्त की त्रिज्या 4 cm है, इसलिए क्षेत्रफल MATHSTART K=rs=4(x+14) MATHEND होगा। हीरोन के सूत्र से MATHSTART K^2=s(s-AB)(s-AC)(s-BC) MATHEND, अतः MATHSTART (4(x+14))^2=(x+14) imes6 imes8\times x MATHEND। हल करने पर MATHSTART x=7 MATHEND मिलता है। इसलिए MATHSTART AB=7+8=15 MATHEND cm और MATHSTART AC=7+6=13 MATHEND cm।
The ratio of the base area of a regular square pyramid to the area of one of its lateral faces is 2:1. Find the angle made by a lateral face with the base.
एक नियमित वर्गीय पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल और उसके एक पार्श्व फलक के क्षेत्रफल का अनुपात 2:1 है। पार्श्व फलक द्वारा आधार के साथ बनाए गए कोण का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Let the side of the square base be a and the slant height of a lateral face be l. The base area is MATHSTART a^2 MATHEND and the area of one lateral face is MATHSTART \frac12 al MATHEND. Given MATHSTART \frac{a^2}{\frac12 al}=\frac21 MATHEND, so MATHSTART l=a MATHEND. If theta is the angle between the lateral face and the base, then MATHSTART \cos\theta=\frac{a/2}{l}=\frac12 MATHEND. Therefore, MATHSTART \boxed{\theta=60^\circ} MATHEND.
मान लीजिए वर्गाकार आधार की भुजा a और पार्श्व फलक की तिर्यक ऊँचाई l है। आधार का क्षेत्रफल MATHSTART a^2 MATHEND तथा एक पार्श्व फलक का क्षेत्रफल MATHSTART \frac12 al MATHEND है। दिया गया है MATHSTART \frac{a^2}{\frac12 al}=\frac21 MATHEND, इसलिए MATHSTART l=a MATHEND। यदि पार्श्व फलक और आधार के बीच का कोण theta है, तो MATHSTART \cos\theta=\frac{a/2}{l}=\frac12 MATHEND। अतः MATHSTART \boxed{\theta=60^\circ} MATHEND।
A tin of paneer is marked at ₹1050 and a discount of 11% is given on it. A tin of butter is marked at ₹1750 and a discount of 32% is given on it. If a customer buys 5 tins of paneer and 4 tins of butter, find the overall effective discount percentage on the total purchase.
पनीर का एक डिब्बा ₹1050 पर अंकित है और उस पर 11% की छूट दी जाती है। मक्खन का एक डिब्बा ₹1750 पर अंकित है और उस पर 32% की छूट दी जाती है। यदि एक ग्राहक पनीर के 5 डिब्बे और मक्खन के 4 डिब्बे खरीदता है, तो कुल खरीद पर कुल प्रभावी छूट प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Marked price of 5 paneer tins = MATHSTART 5 imes1050=5250 MATHEND ₹. Discount on paneer = MATHSTART 5250\times\frac{11}{100}=577.50 MATHEND ₹. Marked price of 4 butter tins = MATHSTART 4 imes1750=7000 MATHEND ₹. Discount on butter = MATHSTART 7000\times\frac{32}{100}=2240 MATHEND ₹. Total marked price = MATHSTART 5250+7000=12250 MATHEND ₹. Total discount = MATHSTART 577.50+2240=2817.50 MATHEND ₹. Effective discount percentage = MATHSTART \frac{2817.50}{12250} imes100 MATHEND = 23%.
पनीर के 5 डिब्बों का अंकित मूल्य = MATHSTART 5 imes1050=5250 MATHEND ₹। पनीर पर छूट = MATHSTART 5250\times\frac{11}{100}=577.50 MATHEND ₹। मक्खन के 4 डिब्बों का अंकित मूल्य = MATHSTART 4 imes1750=7000 MATHEND ₹। मक्खन पर छूट = MATHSTART 7000\times\frac{32}{100}=2240 MATHEND ₹। कुल अंकित मूल्य = MATHSTART 5250+7000=12250 MATHEND ₹। कुल छूट = MATHSTART 577.50+2240=2817.50 MATHEND ₹। प्रभावी छूट प्रतिशत = MATHSTART \frac{2817.50}{12250} imes100 MATHEND = 23%।
The lengths of a common external tangent and a common internal tangent to two circles are 9 and 5, respectively. Find the product of the radii of the two circles.
दो वृत्तों की एक सामान्य बाह्य स्पर्शरेखा की लंबाई 9 है तथा एक सामान्य आंतरिक स्पर्शरेखा की लंबाई 5 है। दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं के गुणनफल को ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Let the radii be r1 and r2, and the distance between the centres be d. For the common external tangent, MATHSTART 9^2=d^2-(r_1-r_2)^2 MATHEND. For the common internal tangent, MATHSTART 5^2=d^2-(r_1+r_2)^2 MATHEND. Subtracting the second equation from the first gives MATHSTART 81-25=(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2 MATHEND. Using MATHSTART (a+b)^2-(a-b)^2=4ab MATHEND, we get MATHSTART 56=4r_1r_2 MATHEND. Therefore, MATHSTART r_1r_2=\frac{56}{4}=\boxed{14} MATHEND.
मान लीजिए दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ r1 और r2 हैं तथा केंद्रों के बीच की दूरी d है। सामान्य बाह्य स्पर्शरेखा के लिए MATHSTART 9^2=d^2-(r_1-r_2)^2 MATHEND। सामान्य आंतरिक स्पर्शरेखा के लिए MATHSTART 5^2=d^2-(r_1+r_2)^2 MATHEND। दूसरी समीकरण को पहली से घटाने पर MATHSTART 81-25=(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2 MATHEND। सूत्र MATHSTART (a+b)^2-(a-b)^2=4ab MATHEND से MATHSTART 56=4r_1r_2 MATHEND मिलता है। अतः MATHSTART r_1r_2=\frac{56}{4}=\boxed{14} MATHEND।
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