If MATHSTART x+y+z=0 MATHEND, and MATHSTART x^2+y^2+z^2=32 MATHEND, then find the value of MATHSTART xy+yz+zx MATHEND.
यदि MATHSTART x+y+z=0 MATHEND, और MATHSTART x^2+y^2+z^2=32 MATHEND, तो MATHSTART xy+yz+zx MATHEND का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Using the identity MATHSTART (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) MATHEND. Given MATHSTART x+y+z=0 MATHEND and MATHSTART x^2+y^2+z^2=32 MATHEND. Substituting, MATHSTART 0^2=32+2(xy+yz+zx) MATHEND. Therefore, MATHSTART 2(xy+yz+zx)=-32 MATHEND, so MATHSTART xy+yz+zx=-16 MATHEND. Hence, the correct answer is -16 (Option A).
सूत्र MATHSTART (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) MATHEND का प्रयोग करने पर, दिया है कि MATHSTART x+y+z=0 MATHEND और MATHSTART x^2+y^2+z^2=32 MATHEND। मान रखने पर, MATHSTART 0^2=32+2(xy+yz+zx) MATHEND। अतः MATHSTART 2(xy+yz+zx)=-32 MATHEND, इसलिए MATHSTART xy+yz+zx=-16 MATHEND। अतः सही उत्तर -16 (विकल्प A) है।
A, B, and C invest in a business with their capitals in the ratio 2:3:4. After 6 months, A increases his capital by 50%. At the end of 2 years, the total profit earned is Rs. 90,000. How much profit does A receive?
A, B और C अपनी पूँजी 2:3:4 के अनुपात में एक व्यवसाय में निवेश करते हैं। 6 महीने बाद, A अपनी पूँजी में 50% की वृद्धि करता है। 2 वर्षों के अंत में, कुल लाभ ₹90,000 होता है। A को कितना लाभ प्राप्त होता है?
Solution / समाधान
Profit is divided in the ratio of capital × time. Let the initial investments be 2x, 3x and 4x. A's capital-time = MATHSTART 2x\times6+3x\times18=66x MATHEND. B's capital-time = MATHSTART 3x\times24=72x MATHEND. C's capital-time = MATHSTART 4x\times24=96x MATHEND. Total ratio = MATHSTART 66:72:96 MATHEND. A's profit = MATHSTART \frac{66}{66+72+96}\times90000=\frac{66}{234}\times90000=25384.62 MATHEND. Correct answer: Rs. 25,384.62 (Option D).
लाभ का बँटवारा पूँजी × समय के अनुपात में होता है। मान लीजिए प्रारंभिक पूँजी क्रमशः 2x, 3x और 4x है। A की पूँजी-समय = MATHSTART 2x\times6+3x\times18=66x MATHEND। B की पूँजी-समय = MATHSTART 3x\times24=72x MATHEND। C की पूँजी-समय = MATHSTART 4x\times24=96x MATHEND। कुल अनुपात MATHSTART 66:72:96 MATHEND है। A का लाभ = MATHSTART \frac{66}{234}\times90000=25384.62 MATHEND ₹। सही उत्तर ₹25,384.62 (विकल्प D) है।
If cos A = 12/13 and sin B = 5/13, find sin A cos B + cos A sin B.
यदि MATHSTART \cos A=\frac{12}{13} MATHEND और MATHSTART \sin B=\frac{5}{13} MATHEND, तो MATHSTART \sin A\cos B+\cos A\sin B MATHEND का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Given MATHSTART \cos A=\frac{12}{13} MATHEND, so MATHSTART \sin A=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13} MATHEND. Given MATHSTART \sin B=\frac{5}{13} MATHEND, so MATHSTART \cos B=\frac{12}{13} MATHEND. Therefore, MATHSTART \sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac{5}{13}\times\frac{12}{13}+\frac{12}{13}\times\frac{5}{13}=\frac{120}{169} MATHEND. Correct answer: Option C.
दिया है MATHSTART \cos A=\frac{12}{13} MATHEND। इसलिए MATHSTART \sin A=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13} MATHEND। इसी प्रकार MATHSTART \sin B=\frac{5}{13} MATHEND होने पर MATHSTART \cos B=\frac{12}{13} MATHEND। अतः MATHSTART \sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac{5}{13}\times\frac{12}{13}+\frac{12}{13}\times\frac{5}{13}=\frac{120}{169} MATHEND। सही उत्तर विकल्प C है।
A vendor buys apples at 10 for ₹120 and sells them at 8 for ₹100. What is his profit or loss percentage?
एक विक्रेता ₹120 में 10 सेब खरीदता है और उन्हें ₹100 में 8 सेब बेचता है। उसका लाभ या हानि प्रतिशत क्या है?
Solution / समाधान
Cost price per apple = MATHSTART \frac{120}{10}=12 MATHEND ₹. Selling price per apple = MATHSTART \frac{100}{8}=12.50 MATHEND ₹. Profit per apple = MATHSTART 12.50-12=0.50 MATHEND ₹. Profit percentage = MATHSTART \frac{0.50}{12}\times100=4.1667\%\approx4.17\% MATHEND. Correct answer: 4.17% profit (Option A).
एक सेब का क्रय मूल्य = MATHSTART \frac{120}{10}=12 MATHEND ₹। एक सेब का विक्रय मूल्य = MATHSTART \frac{100}{8}=12.50 MATHEND ₹। प्रति सेब लाभ = MATHSTART 12.50-12=0.50 MATHEND ₹। लाभ प्रतिशत = MATHSTART \frac{0.50}{12}\times100\approx4.17\% MATHEND। सही उत्तर 4.17% लाभ (विकल्प A) है।
A and B together have Rs. 9000. If 4/11 of A's amount is equal to 3/5 of B's amount, how much amount does A have?
A और B के पास कुल मिलाकर ₹9000 हैं। यदि A की राशि का MATHSTART \frac{4}{11} MATHEND, B की राशि के MATHSTART \frac{3}{5} MATHEND के बराबर है, तो A के पास कितनी राशि है?
Solution / समाधान
Let the amounts of A and B be A and B. Given MATHSTART \frac{4}{11}A=\frac{3}{5}B MATHEND. Cross-multiplying gives MATHSTART 20A=33B MATHEND, so MATHSTART A:B=33:20 MATHEND. Total ratio = MATHSTART 33+20=53 MATHEND. A's amount = MATHSTART \frac{33}{53}\times9000=5603.7736\ldots MATHEND, approximately Rs. 5603.8. Correct answer: Option A.
मान लीजिए A और B की राशियाँ क्रमशः A और B हैं। दिया है MATHSTART \frac{4}{11}A=\frac{3}{5}B MATHEND। क्रॉस गुणा करने पर MATHSTART 20A=33B MATHEND, इसलिए MATHSTART A:B=33:20 MATHEND। कुल अनुपात MATHSTART 33+20=53 MATHEND है। A की राशि = MATHSTART \frac{33}{53}\times9000=5603.7736\ldots MATHEND, अर्थात लगभग ₹5603.8। सही उत्तर विकल्प A है।
An amount is said to double in 5 years with compound interest. How many years will it take for the amount to grow to 8 times its original value?
एक राशि चक्रवृद्धि ब्याज के साथ 5 वर्षों में दोगुनी हो जाती है। इस राशि को अपने मूल मूल्य से 8 गुना होने में कितने वर्ष लगेंगे?
Solution / समाधान
The amount doubles every 5 years. Since MATHSTART 8=2^3 MATHEND, the amount must double 3 times to become 8 times its original value. Required time = MATHSTART 3\times5=15 MATHEND years. Correct answer: 15 (Option C).
राशि प्रत्येक 5 वर्ष में दोगुनी होती है। क्योंकि MATHSTART 8=2^3 MATHEND, इसलिए मूल राशि की 8 गुना होने के लिए राशि को 3 बार दोगुना होना होगा। आवश्यक समय = MATHSTART 3\times5=15 MATHEND वर्ष। सही उत्तर 15 (विकल्प C) है।
The ratio of the speeds of a bike and a car is 4:5. If the bike travels 160 km in 4 hours, how far will the car travel in 5 hours?
एक बाइक और कार की गति का अनुपात 4:5 है। यदि बाइक 4 घंटे में 160 km चलती है, तो कार 5 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?
Solution / समाधान
Bike's speed = MATHSTART \frac{160}{4}=40 MATHEND km/h. The speed ratio is 4:5, so car's speed = MATHSTART 40\times\frac{5}{4}=50 MATHEND km/h. Distance travelled by the car in 5 hours = MATHSTART 50\times5=250 MATHEND km. Correct answer: 250 km (Option B).
बाइक की गति = MATHSTART \frac{160}{4}=40 MATHEND km/h। गति का अनुपात 4:5 है, इसलिए कार की गति = MATHSTART 40\times\frac{5}{4}=50 MATHEND km/h। 5 घंटे में कार द्वारा तय दूरी = MATHSTART 50\times5=250 MATHEND km। सही उत्तर 250 km (विकल्प B) है।
The average marks of 30 students is 55. If one student who scored 40 is replaced by another who scored 70, what will be the new average?
30 छात्रों के औसत अंक 55 हैं। यदि 40 अंक प्राप्त करने वाले एक छात्र को 70 अंक प्राप्त करने वाले दूसरे छात्र से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो नया औसत क्या होगा?
Solution / समाधान
Original total marks = MATHSTART 30\times55=1650 MATHEND. The increase in marks is MATHSTART 70-40=30 MATHEND. New total = MATHSTART 1650+30=1680 MATHEND. New average = MATHSTART \frac{1680}{30}=56 MATHEND. Correct answer: 56 (Option A).
कुल प्रारंभिक अंक = MATHSTART 30\times55=1650 MATHEND। अंकों में वृद्धि = MATHSTART 70-40=30 MATHEND। नए कुल अंक = MATHSTART 1650+30=1680 MATHEND। नया औसत = MATHSTART \frac{1680}{30}=56 MATHEND। सही उत्तर 56 (विकल्प A) है।
Which of the following is the smallest number divisible by 9, 12, and 15 and leaves a remainder of 4 in each case?
निम्नलिखित में से कौन सी संख्या 9, 12 और 15 से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या है और प्रत्येक स्थिति में शेषफल 4 बचता है?
Solution / समाधान
Find the LCM of 9, 12 and 15. MATHSTART 9=3^2,\quad12=2^2\times3,\quad15=3\times5 MATHEND. Therefore, MATHSTART \operatorname{LCM}(9,12,15)=2^2\times3^2\times5=180 MATHEND. The required number leaves remainder 4, so add 4 to the LCM: MATHSTART 180+4=184 MATHEND. Correct answer: 184 (Option B).
9, 12 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें। MATHSTART 9=3^2,\quad12=2^2\times3,\quad15=3\times5 MATHEND। अतः MATHSTART \operatorname{LCM}(9,12,15)=180 MATHEND। आवश्यक संख्या में शेषफल 4 है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में 4 जोड़ेंगे: MATHSTART 180+4=184 MATHEND। सही उत्तर 184 (विकल्प B) है।
The price of a shirt is increased by 20% and then again increased by 10%. What is the net percentage increase in price?
एक शर्ट की कीमत में 20% की वृद्धि की जाती है और फिर 10% की वृद्धि की जाती है। कीमत में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि क्या है?
Solution / समाधान
Let the original price be Rs. 100. After a 20% increase, the price becomes Rs. 120. After another 10% increase, it becomes MATHSTART 120\times1.10=132 MATHEND. Net increase = MATHSTART 132-100=32 MATHEND. Therefore, the net percentage increase is 32%. Alternatively, MATHSTART 20+10+\frac{20\times10}{100}=32\% MATHEND. Correct answer: 32% (Option B).
मान लीजिए मूल कीमत ₹100 है। 20% वृद्धि के बाद कीमत ₹120 होगी। फिर 10% वृद्धि के बाद कीमत MATHSTART 120\times1.10=132 MATHEND ₹ होगी। शुद्ध वृद्धि = MATHSTART 132-100=32 MATHEND ₹। इसलिए शुद्ध प्रतिशत वृद्धि 32% है। वैकल्पिक सूत्र: MATHSTART 20+10+\frac{20\times10}{100}=32\% MATHEND। सही उत्तर 32% (विकल्प B) है।
A can complete a task in 10 days and, B can finish a task in 15 days respectively. A starts the work and works for 4 days, after which B joins A. How many more days will they take to complete the task?
A एक कार्य को 10 दिनों में पूरा कर सकता है और B उस कार्य को 15 दिनों में पूरा कर सकता है। A कार्य शुरू करता है और 4 दिनों तक काम करता है, उसके बाद B, A के साथ शामिल हो जाता है। कार्य पूरा करने के लिए कितने और दिन लगेंगे?
Solution / समाधान
A's one-day work = MATHSTART \frac{1}{10} MATHEND. Work completed by A in 4 days = MATHSTART \frac{4}{10}=\frac25 MATHEND. Remaining work = MATHSTART 1-\frac25=\frac35 MATHEND. Combined one-day work of A and B = MATHSTART \frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac16 MATHEND. Additional time = MATHSTART \frac{3}{5}\div\frac16=\frac35\times6=3.6 MATHEND days. Correct answer: 3.6 days (Option A).
A का एक दिन का कार्य = MATHSTART \frac{1}{10} MATHEND। 4 दिनों में A द्वारा किया गया कार्य = MATHSTART \frac{4}{10}=\frac25 MATHEND। शेष कार्य = MATHSTART 1-\frac25=\frac35 MATHEND। A और B का एक दिन का संयुक्त कार्य = MATHSTART \frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac16 MATHEND। अतिरिक्त समय = MATHSTART \frac35\div\frac16=\frac35\times6=3.6 MATHEND दिन। सही उत्तर 3.6 दिन (विकल्प A) है।
A fan's cost price is unknown. A retailer marks it up so that its marked price is ₹5,000. They offer a 20% discount on this marked price. Even after the discount, they make a profit of 25%. What was the original cost price of the fan for the retailer?
एक पंखे का क्रय मूल्य अज्ञात है। एक खुदरा विक्रेता इसे इस प्रकार अंकित करता है कि उसका अंकित मूल्य ₹5,000 हो जाता है। वे इस अंकित मूल्य पर 20% की छूट देते हैं। छूट के बाद भी, उन्हें 25% का लाभ होता है। खुदरा विक्रेता के लिए पंखे का मूल क्रय मूल्य क्या था?
Solution / समाधान
Marked price = Rs. 5,000. Selling price after a 20% discount = MATHSTART 5000\times\frac{80}{100}=4000 MATHEND. A 25% profit means MATHSTART SP=125\%\text{ of }CP MATHEND. Therefore, MATHSTART CP=\frac{4000\times100}{125}=3200 MATHEND. Correct answer: Rs. 3,200 (Option C).
अंकित मूल्य = ₹5,000। 20% छूट के बाद विक्रय मूल्य = MATHSTART 5000\times\frac{80}{100}=4000 MATHEND ₹। 25% लाभ का अर्थ है कि MATHSTART SP=125\%\text{ of }CP MATHEND। इसलिए MATHSTART CP=\frac{4000\times100}{125}=3200 MATHEND ₹। सही उत्तर ₹3,200 (विकल्प C) है।
A sum of money amounts to ₹6,720 in 4 years and to ₹7,680 in 6 years at a certain rate of simple interest. What is the annual rate of interest?
एक धनराशि साधारण ब्याज की एक निश्चित दर पर 4 वर्षों में ₹6,720 और 6 वर्षों में ₹7,680 हो जाती है। वार्षिक ब्याज दर क्या है?
Solution / समाधान
Interest for 2 years = MATHSTART 7680-6720=960 MATHEND. Annual interest = MATHSTART \frac{960}{2}=480 MATHEND. Principal = MATHSTART 6720-(4\times480)=4800 MATHEND. Rate = MATHSTART \frac{480\times100}{4800}=10\% MATHEND. Correct answer: 10% (Option C).
2 वर्षों का ब्याज = MATHSTART 7680-6720=960 MATHEND ₹। एक वर्ष का ब्याज = MATHSTART \frac{960}{2}=480 MATHEND ₹। मूलधन = MATHSTART 6720-(4\times480)=4800 MATHEND ₹। ब्याज दर = MATHSTART \frac{480\times100}{4800}=10\% MATHEND। सही उत्तर 10% (विकल्प C) है।
Find the value of MATHSTART \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}} MATHEND.
MATHSTART \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}} MATHEND का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Let MATHSTART x=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}} MATHEND. Since the expression repeats, MATHSTART x=\sqrt{12+x} MATHEND. Squaring both sides gives MATHSTART x^2=12+x MATHEND, so MATHSTART x^2-x-12=0 MATHEND. Factorising, MATHSTART (x-4)(x+3)=0 MATHEND. Thus MATHSTART x=4 MATHEND or MATHSTART x=-3 MATHEND. Since a square root is non-negative, the answer is 4 (Option B).
मान लीजिए MATHSTART x=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}} MATHEND। क्योंकि व्यंजक बार-बार दोहराया जाता है, MATHSTART x=\sqrt{12+x} MATHEND। दोनों तरफ वर्ग करने पर MATHSTART x^2=12+x MATHEND, अर्थात MATHSTART x^2-x-12=0 MATHEND। गुणनखंड करने पर MATHSTART (x-4)(x+3)=0 MATHEND। इसलिए MATHSTART x=4 MATHEND या MATHSTART x=-3 MATHEND। वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए सही उत्तर 4 (विकल्प B) है।
A drum contains 80 litres of a 90% pure acid solution. If 8 litres of this solution are removed and replaced with 8 litres of pure water, what is the new percentage of acid in the solution?
एक ड्रम में 80 लीटर 90% शुद्ध अम्ल विलयन है। यदि इस विलयन के 8 लीटर निकालकर उसकी जगह 8 लीटर शुद्ध जल डाल दिया जाए, तो विलयन में अम्ल का नया प्रतिशत क्या होगा?
Solution / समाधान
Initial acid = MATHSTART 80\times\frac{90}{100}=72 MATHEND litres. Acid removed = MATHSTART 8\times\frac{90}{100}=7.2 MATHEND litres. Remaining acid = MATHSTART 72-7.2=64.8 MATHEND litres. Adding pure water does not change the amount of acid, and the total volume remains 80 litres. New acid percentage = MATHSTART \frac{64.8}{80}\times100=81\% MATHEND. Correct answer: 81% (Option B).
प्रारंभिक अम्ल = MATHSTART 80\times\frac{90}{100}=72 MATHEND लीटर। निकाला गया अम्ल = MATHSTART 8\times\frac{90}{100}=7.2 MATHEND लीटर। शेष अम्ल = MATHSTART 72-7.2=64.8 MATHEND लीटर। शुद्ध जल मिलाने से अम्ल की मात्रा नहीं बदलती और कुल आयतन 80 लीटर रहता है। अम्ल का नया प्रतिशत = MATHSTART \frac{64.8}{80}\times100=81\% MATHEND। सही उत्तर 81% (विकल्प B) है।
A chord of a circle measures 16 cm in length, and the perpendicular distance from the center of the circle to the chord is 6 cm. What is the radius of the circle?
एक वृत्त की जीवा की लंबाई 16 cm है और वृत्त के केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी 6 cm है। वृत्त की त्रिज्या क्या है?
Solution / समाधान
The perpendicular from the centre bisects the chord. Half the chord = MATHSTART \frac{16}{2}=8 MATHEND cm. Using Pythagoras' theorem, MATHSTART r^2=8^2+6^2=64+36=100 MATHEND. Therefore, MATHSTART r=\sqrt{100}=10 MATHEND cm. Correct answer: 10 cm (Option A).
केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है। आधी जीवा = MATHSTART \frac{16}{2}=8 MATHEND cm। पाइथागोरस प्रमेय से MATHSTART r^2=8^2+6^2=64+36=100 MATHEND। इसलिए MATHSTART r=\sqrt{100}=10 MATHEND cm। सही उत्तर 10 cm (विकल्प A) है।
A 3 cm-radius solid metal sphere is melted and reshaped into smaller spheres, each with a 1 cm radius. From the original sphere, how many smaller spheres can be created?
3 सेमी त्रिज्या वाले एक ठोस धातु के गोले को पिघलाकर 1 सेमी त्रिज्या वाले छोटे गोलों का आकार दिया गया है। मूल गोले से कितने छोटे गोले बनाए जा सकते हैं?
Solution / समाधान
The metal volume remains unchanged. Volume of a sphere = MATHSTART \frac43\pi r^3 MATHEND. Number of smaller spheres = MATHSTART \frac{\frac43\pi(3)^3}{\frac43\pi(1)^3}=\frac{27}{1}=27 MATHEND. Correct answer: 27 (Option C).
धातु को पिघलाकर नया आकार देने पर कुल आयतन समान रहता है। गोले का आयतन = MATHSTART \frac43\pi r^3 MATHEND। छोटे गोलों की संख्या = MATHSTART \frac{\frac43\pi(3)^3}{\frac43\pi(1)^3}=27 MATHEND। सही उत्तर 27 (विकल्प C) है।
A solid hemispherical block is melted and recast into a cylinder of the same radius. The height of the cylinder is what fraction of the radius of the hemisphere?
एक ठोस अर्धगोलाकार ब्लॉक को पिघलाकर उसी त्रिज्या का एक बेलन बनाया जाता है। बेलन की ऊँचाई अर्धगोले की त्रिज्या का कितना भाग है?
Solution / समाधान
Volume of a hemisphere = MATHSTART \frac23\pi r^3 MATHEND. Volume of a cylinder = MATHSTART \pi r^2h MATHEND. Equating the volumes, MATHSTART \frac23\pi r^3=\pi r^2h MATHEND. Cancelling MATHSTART \pi r^2 MATHEND gives MATHSTART h=\frac{2r}{3} MATHEND. Therefore, the height as a fraction of the radius is MATHSTART \frac{h}{r}=\frac23 MATHEND. Correct answer: Option A.
अर्धगोले का आयतन = MATHSTART \frac23\pi r^3 MATHEND। बेलन का आयतन = MATHSTART \pi r^2h MATHEND। दोनों आयतन बराबर करने पर MATHSTART \frac23\pi r^3=\pi r^2h MATHEND। MATHSTART \pi r^2 MATHEND से भाग देने पर MATHSTART h=\frac{2r}{3} MATHEND। अतः त्रिज्या की तुलना में ऊँचाई का भाग MATHSTART \frac{h}{r}=\frac23 MATHEND है। सही उत्तर विकल्प A है।
What is the value of (3.5)^2 + √1.44 − (2.5 ÷ 0.5)?
MATHSTART (3.5)^2+\sqrt{1.44}-(2.5\div0.5) MATHEND का मूल्य क्या है?
Solution / समाधान
Calculate each part: MATHSTART (3.5)^2=12.25 MATHEND, MATHSTART \sqrt{1.44}=1.2 MATHEND and MATHSTART 2.5\div0.5=5 MATHEND. Therefore, MATHSTART 12.25+1.2-5=13.45-5=8.45 MATHEND. Correct answer: 8.45 (Option B).
प्रत्येक भाग की गणना करें: MATHSTART (3.5)^2=12.25 MATHEND, MATHSTART \sqrt{1.44}=1.2 MATHEND और MATHSTART 2.5\div0.5=5 MATHEND। अतः MATHSTART 12.25+1.2-5=13.45-5=8.45 MATHEND। सही उत्तर 8.45 (विकल्प B) है।
Simplify: 1/(√5 − 2) + 1/(√5 + 2)
सरल करें: MATHSTART \frac{1}{\sqrt{5}-2}+\frac{1}{\sqrt{5}+2} MATHEND
Solution / समाधान
Taking the LCM, MATHSTART \frac{1}{\sqrt{5}-2}+\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} MATHEND. The numerator is MATHSTART 2\sqrt{5} MATHEND. Using MATHSTART (a-b)(a+b)=a^2-b^2 MATHEND, the denominator is MATHSTART 5-4=1 MATHEND. Hence, the result is MATHSTART 2\sqrt{5} MATHEND. Correct answer: Option A.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर MATHSTART \frac{1}{\sqrt{5}-2}+\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} MATHEND। अंश MATHSTART 2\sqrt{5} MATHEND है। सूत्र MATHSTART (a-b)(a+b)=a^2-b^2 MATHEND से हर MATHSTART 5-4=1 MATHEND होगा। इसलिए उत्तर MATHSTART 2\sqrt{5} MATHEND है। सही उत्तर विकल्प A है।
A line passes through the point (5, 7) and has a slope of -1. What is the equation of the line?
एक रेखा बिंदु (5, 7) से होकर गुजरती है और इसकी ढलान -1 है। रेखा का समीकरण क्या है?
Solution / समाधान
Use the point-slope formula MATHSTART y-y_1=m(x-x_1) MATHEND. Given MATHSTART (x_1,y_1)=(5,7) MATHEND and MATHSTART m=-1 MATHEND. Substituting gives MATHSTART y-7=-(x-5) MATHEND. Expanding, MATHSTART y-7=-x+5 MATHEND, so MATHSTART y=-x+12 MATHEND. Correct answer: Option A.
बिंदु-ढलान सूत्र MATHSTART y-y_1=m(x-x_1) MATHEND का प्रयोग करें। दिया है MATHSTART (x_1,y_1)=(5,7) MATHEND और MATHSTART m=-1 MATHEND। मान रखने पर MATHSTART y-7=-(x-5) MATHEND। सरल करने पर MATHSTART y-7=-x+5 MATHEND, इसलिए MATHSTART y=-x+12 MATHEND। सही उत्तर विकल्प A है।
Find all values of k such that the quadratic equation x² + kx + 16 = 0 has real and distinct roots.
k के वे सभी मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए द्विघात समीकरण x² + kx + 16 = 0 के वास्तविक और भिन्न मूल हों।
Solution / समाधान
For real and distinct roots, the discriminant must be greater than zero. Here a = 1, b = k, and c = 16, so the discriminant is k² - 64. We need k² - 64 greater than 0, which gives k greater than 8 or k less than -8. Correct answer: Option A.
वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर शून्य से बड़ा होना चाहिए। यहाँ a = 1, b = k और c = 16 हैं, इसलिए विविक्तकर k² - 64 है। हमें k² - 64 शून्य से बड़ा चाहिए, जिससे k, 8 से बड़ा या -8 से छोटा मिलता है। सही उत्तर विकल्प A है।
Simplify: ((1 + tan²x) / (1 + cot²x)) × ((sec x - tan x) / (sec x + tan x)).
सरलीकरण कीजिए: ((1 + tan²x) / (1 + cot²x)) × ((sec x - tan x) / (sec x + tan x)).
Solution / समाधान
Using 1 + tan²x = sec²x and 1 + cot²x = csc²x, the first fraction becomes tan²x. The second fraction becomes (1 - sin x) / (1 + sin x). Multiplying gives tan²x × (1 - sin x) / (1 + sin x). Correct answer: Option D.
1 + tan²x = sec²x और 1 + cot²x = csc²x का प्रयोग करने पर पहला भिन्न tan²x बनता है। दूसरा भिन्न (1 - sin x) / (1 + sin x) बनता है। दोनों को गुणा करने पर tan²x × (1 - sin x) / (1 + sin x) मिलता है। सही उत्तर विकल्प D है।
If sin θ = 7/25, find cos²θ.
यदि sin θ = 7/25, तो cos²θ ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Using sin²θ + cos²θ = 1, we get cos²θ = 1 - sin²θ. Substituting sin θ = 7/25 gives cos²θ = 1 - 49/625 = 576/625. Correct answer: Option A.
sin²θ + cos²θ = 1 से cos²θ = 1 - sin²θ प्राप्त होता है। sin θ = 7/25 रखने पर cos²θ = 1 - 49/625 = 576/625। सही उत्तर विकल्प A है।
In a right triangle ABC, right-angled at B, if tan A = 1, what is the value of 2 sin A cos A?
एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 1 है, तो 2 sin A cos A का मान क्या है?
Solution / समाधान
Since tan A = 1 and angle A is acute, A = 45°. Therefore, sin A = 1/√2 and cos A = 1/√2. Thus, 2 sin A cos A = 2 × 1/√2 × 1/√2 = 1. Correct answer: Option D.
क्योंकि tan A = 1 और कोण A न्यून कोण है, इसलिए A = 45°। अतः sin A = 1/√2 और cos A = 1/√2। इसलिए 2 sin A cos A = 2 × 1/√2 × 1/√2 = 1। सही उत्तर विकल्प D है।