If MATHSTART x=531, y=-295, z=-231 MATHEND, find the value of MATHSTART \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz} MATHEND.
यदि MATHSTART x=531, y=-295, z=-231 MATHEND, तो MATHSTART \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz} MATHEND का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Using the identities MATHSTART (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) MATHEND and MATHSTART x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) MATHEND, the expression simplifies to MATHSTART \frac{2}{x+y+z} MATHEND. Now, MATHSTART x+y+z=531-295-231=5 MATHEND. Therefore, MATHSTART \frac{2}{5}=0.4 MATHEND. Correct answer: Option B.
सूत्र MATHSTART (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) MATHEND तथा MATHSTART x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) MATHEND का प्रयोग करने पर व्यंजक सरल होकर MATHSTART \frac{2}{x+y+z} MATHEND हो जाता है। अब, MATHSTART x+y+z=531-295-231=5 MATHEND। अतः MATHSTART \frac{2}{5}=0.4 MATHEND। सही उत्तर: विकल्प B।
Ravi started a business with an investment of Rs. 90,000, and Krishna joined him after 4 months by investing Rs. 1,50,000. If the profit at the end of the year is Rs. 66,500, find Krishna's share of the profit.
रवि ने Rs. 90,000 के निवेश के साथ एक व्यवसाय शुरू किया और 4 महीने बाद कृष्णा ने Rs. 1,50,000 का निवेश करके उसके साथ जुड़ गया। यदि वर्ष के अंत में लाभ Rs. 66,500 है, तो कृष्णा का लाभ ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Profit-sharing ratio = Investment × Time. Ravi's investment-time = 90,000 × 12 = 10,80,000. Krishna's investment-time = 1,50,000 × 8 = 12,00,000. Therefore, the ratio = 9:10. Krishna's share = MATHSTART \frac{10}{9+10}\times 66,500 MATHEND = Rs. 35,000. Correct answer: Option B.
लाभ का अनुपात = पूँजी × समय। रवि का पूँजी-समय = MATHSTART 90,000 imes12=10,80,000 MATHEND। कृष्णा का पूँजी-समय = MATHSTART 1,50,000 imes8=12,00,000 MATHEND। अतः अनुपात = MATHSTART 9:10 MATHEND। कृष्णा का लाभ = MATHSTART \frac{10}{9+10} imes66,500 MATHEND = Rs. 35,000। सही उत्तर: विकल्प B।
At what annual rate will Rs. 54,000 yield a compound interest of Rs. 39,312 in 9 months, compounded quarterly?
किस वार्षिक दर पर Rs. 54,000 की राशि 9 महीने में त्रैमासिक रूप से संयोजित होने पर Rs. 39,312 का चक्रवृद्धि ब्याज देगी?
Solution / समाधान
Principal = Rs. 54,000; compound interest = Rs. 39,312. Amount = 54,000 + 39,312 = Rs. 93,312. Therefore, MATHSTART \frac{A}{P}=\frac{93,312}{54,000}=1.728=(1.2)^3 MATHEND. There are 3 quarters in 9 months, so the quarterly interest rate is 20%. Annual rate = MATHSTART 20% imes4=\boxed{80%} MATHEND. Correct answer: Option D.
मूलधन = Rs. 54,000 और चक्रवृद्धि ब्याज = Rs. 39,312। मिश्रधन = MATHSTART 54,000+39,312=93,312 MATHEND। अतः MATHSTART \frac{A}{P}=\frac{93,312}{54,000}=1.728=(1.2)^3 MATHEND। 9 महीने में 3 तिमाहियाँ होती हैं, इसलिए त्रैमासिक ब्याज दर 20% है। वार्षिक दर = MATHSTART 20% imes4=\boxed{80%} MATHEND। सही उत्तर: विकल्प D।
Raj buys an item whose marked price is paid partly in cash and partly through a credit card. He pays 30% of the amount in cash and gets a discount of 35% on it, while a surcharge of 3% is applied to the 70% paid through the credit card. If he finally pays a total of ₹9,160, find the marked price of the item.
राज एक वस्तु खरीदता है जिसका अंकित मूल्य आंशिक रूप से नकद में चुकाया जाता है और शेष क्रेडिट कार्ड के माध्यम से चुकाया जाता है। नकद में चुकाए गए 30% हिस्से पर उसे 35% की छूट मिलती है, जबकि क्रेडिट कार्ड से चुकाए गए 70% हिस्से पर 3% का अधिभार लगता है। यदि वह अंतिम रूप से कुल ₹9,160 का भुगतान करता है, तो वस्तु का अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Let the marked price be P. Cash payment = 30% × 65% × P = 0.195P. Credit card payment = 70% × 103% × P = 0.721P. Therefore, 0.195P + 0.721P = 9160, so 0.916P = 9160 and P = ₹10,000. Correct answer: Option D.
अंकित मूल्य P मानें। नकद भुगतान = 30% × 65% × P = 0.195P। क्रेडिट कार्ड भुगतान = 70% × 103% × P = 0.721P। अतः 0.195P + 0.721P = 9160, इसलिए 0.916P = 9160 और P = ₹10,000। सही उत्तर: विकल्प D।
A vessel contains 80 litres of a mixture of sugar and water in which sugar constitutes 25%. How much pure sugar should be added so that sugar constitutes 60% of the final mixture?
एक बर्तन में 80 लीटर चीनी और पानी का मिश्रण है, जिसमें चीनी 25% है। अंतिम मिश्रण में चीनी 60% करने के लिए कितनी मात्रा में शुद्ध चीनी मिलानी चाहिए?
Solution / समाधान
Initial sugar = 80 × 25/100 = 20 litres. Let x litres of pure sugar be added. Then (20+x)/(80+x) = 60/100. Therefore, 20+x = 48+0.6x, so 0.4x = 28 and x = 70 litres. Correct answer: Option C.
प्रारंभ में चीनी = 80 × 25/100 = 20 लीटर। माना x लीटर शुद्ध चीनी मिलाई जाती है। तब MATHSTART \frac{20+x}{80+x}=\frac{60}{100} MATHEND। अतः 20+x = 48+0.6x, इसलिए 0.4x = 28 और x = 70 लीटर। सही उत्तर: विकल्प C।
Five identical vessels each have a capacity of C. The quantities of milk in them are in the ratio 2:3:4:5:6. The total quantity of milk is equal to 4/7 of the combined capacity of the five vessels. In how many vessels is the quantity of milk at least equal to half the capacity of a vessel?
पाँच समान पात्रों में से प्रत्येक की क्षमता C है। उनमें दूध की मात्रा 2:3:4:5:6 के अनुपात में है। कुल दूध पाँच पात्रों की संयुक्त क्षमता के 4/7 के बराबर है। कितने पात्रों में कम से कम आधे पात्र की क्षमता के बराबर दूध है?
Solution / समाधान
Let the quantities be 2x, 3x, 4x, 5x and 6x. Their sum is 20x = (4/7) × 5C = 20C/7, so x = C/7. The quantities are 2C/7, 3C/7, 4C/7, 5C/7 and 6C/7. At least half capacity means at least C/2. Three vessels contain at least C/2. Correct answer: Option B.
दूध की मात्राएँ 2x, 3x, 4x, 5x और 6x मानें। कुल दूध 20x = (4/7) × 5C = 20C/7 है, इसलिए x = C/7। मात्राएँ 2C/7, 3C/7, 4C/7, 5C/7 और 6C/7 होंगी। आधी क्षमता C/2 है। तीन पात्रों में कम से कम C/2 दूध है। सही उत्तर: विकल्प B।
Two trains P and Q are 900 km apart at stations X and Y, respectively. Train P starts from X towards Y, and at the same time, train Q starts from Y towards X. Train Q is 50% faster than train P, and both trains move at constant speeds. Find the distance from station Y where the two trains meet.
दो स्टेशन X और Y एक-दूसरे से 900 km दूर हैं। ट्रेन P, स्टेशन X से Y की ओर चलना शुरू करती है और उसी समय ट्रेन Q, स्टेशन Y से X की ओर चलना शुरू करती है। ट्रेन Q, ट्रेन P से 50% तेज है और दोनों ट्रेनें निरंतर गति से चलती हैं। उस बिंदु से स्टेशन Y की दूरी ज्ञात कीजिए जहाँ दोनों ट्रेनें मिलती हैं।
Solution / समाधान
Let the speed of train P be v. Then the speed of train Q is 1.5v. Their distances before meeting are in the ratio 1:1.5 = 2:3. Train Q travels 3/5 of 900 km = 540 km. Since Q starts from Y, the meeting point is 540 km from station Y. Correct answer: Option B.
ट्रेन P की गति v मानें। ट्रेन Q की गति 1.5v होगी। मिलने तक तय दूरियों का अनुपात 1:1.5 = 2:3 है। ट्रेन Q द्वारा तय दूरी = MATHSTART \frac{3}{5} imes900=540\text{ km} MATHEND। Q स्टेशन Y से चलती है, इसलिए मिलने का बिंदु Y से 540 km दूर है। सही उत्तर: विकल्प B।
A and B can complete a piece of work individually in 35 days and 42 days, respectively. They start working together, but A leaves after some time, and B completes the remaining work in the next 9 days. For how many days did A work?
A और B एक काम को क्रमशः 35 दिन और 42 दिन में पूरा कर सकते हैं। वे एक साथ काम शुरू करते हैं, लेकिन कुछ समय बाद A काम छोड़ देता है और B शेष काम अगले 9 दिनों में पूरा करता है। A ने कितने दिनों तक काम किया?
Solution / समाधान
Let A work for x days. B works for x+9 days. Therefore, x/35 + (x+9)/42 = 1. Multiplying by 210 gives 6x + 5(x+9) = 210. Thus, 11x + 45 = 210, so 11x = 165 and x = 15 days. Correct answer: Option D.
माना A ने x दिन काम किया। B ने x+9 दिन काम किया। अतः MATHSTART \frac{x}{35}+\frac{x+9}{42}=1 MATHEND। 210 से गुणा करने पर 6x+5(x+9)=210। इसलिए 11x+45=210, 11x=165 और x=15 दिन। सही उत्तर: विकल्प D।
Two chords AB and CD of a circle subtend angles of 40° and 70°, respectively, at the centre. Find the difference between the angles subtended by these chords at points lying on their minor arcs.
एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD केंद्र पर क्रमशः 40° और 70° का कोण अंतरित करती हैं। इन जीवाओं द्वारा उनके लघु चापों पर स्थित बिंदुओं पर अंतरित कोणों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
The angle subtended by a chord at a point on its minor arc is half the angle corresponding to the major arc. For the two chords, the angles are (360°−40°)/2 = 160° and (360°−70°)/2 = 145°. Their difference = 160°−145° = 15°. Correct answer: Option B.
लघु चाप पर स्थित बिंदु पर जीवा द्वारा अंतरित कोण, संबंधित दीर्घ चाप के केंद्रीय कोण का आधा होता है। दोनों कोण = (360°−40°)/2 = 160° तथा (360°−70°)/2 = 145°। अंतर = 160°−145° = 15°। सही उत्तर: विकल्प B।
If MATHSTART (48÷36×3) - (15÷9×(40-31)-10) + 2P = 8÷4 MATHEND, find the value of P.
यदि MATHSTART (48÷36×3) - (15÷9×(40-31)-10) + 2P = 8÷4 MATHEND, तो P का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Using BODMAS, 48÷36×3 = 4 and 15÷9×(40−31)−10 = 15−10 = 5. Therefore, 4−5+2P = 8÷4 = 2. Thus, −1+2P = 2, 2P = 3, and P = 3/2. Correct answer: Option C.
BODMAS के अनुसार, 48÷36×3 = 4 और 15÷9×(40−31)−10 = 15−10 = 5। अतः 4−5+2P = 8÷4 = 2। इसलिए −1+2P = 2, 2P = 3 और P = 3/2। सही उत्तर: विकल्प C।
Simplify: MATHSTART \frac{(a^2-b^2)^3+(b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3}{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3} MATHEND.
सरल कीजिए: MATHSTART \frac{(a^2-b^2)^3+(b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3}{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3} MATHEND।
Solution / समाधान
Use the identity x³+y³+z³ = 3xyz when x+y+z = 0. In the numerator, let x=a²−b², y=b²−c² and z=c²−a². Their sum is zero, so the numerator equals 3(a²−b²)(b²−c²)(c²−a²). Similarly, the denominator equals 3(a−b)(b−c)(c−a). Cancelling common factors and using a²−b²=(a−b)(a+b), the expression simplifies to (a+b)(b+c)(c+a). Correct answer: Option C.
सूत्र x³+y³+z³ = 3xyz का प्रयोग करें, जब x+y+z=0 हो। अंश में x=a²−b², y=b²−c² और z=c²−a² लेने पर इनका योग शून्य है। इसलिए अंश = 3(a²−b²)(b²−c²)(c²−a²)। इसी प्रकार हर = 3(a−b)(b−c)(c−a)। समान गुणनखंड काटने तथा a²−b²=(a−b)(a+b) का प्रयोग करने पर उत्तर (a+b)(b+c)(c+a) मिलता है। सही उत्तर: विकल्प C।
The product of a number and its square is 729. Find the number.
एक संख्या और उसके वर्ग का गुणनफल 729 है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Let the number be x. Then x × x² = 729, so x³ = 729 = 9³. Therefore, x = 9. Correct answer: Option A.
माना संख्या x है। तब x × x² = 729, अर्थात x³ = 729 = 9³। इसलिए x = 9। सही उत्तर: विकल्प A।
The value of MATHSTART \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}} MATHEND is:
MATHSTART \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}} MATHEND के बराबर है:
Solution / समाधान
Let x = √(6+√(6+√(6+…))). Then x = √(6+x). Squaring gives x² = 6+x, so x²−x−6 = 0. Factorising, (x−3)(x+2) = 0. Since x is positive, x = 3. Correct answer: Option A.
माना x = MATHSTART \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}} MATHEND। तब x = √(6+x)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर x² = 6+x, अर्थात x²−x−6 = 0। गुणनखंड करने पर (x−3)(x+2)=0। चूँकि x धनात्मक है, इसलिए x=3। सही उत्तर: विकल्प A।
Find the smallest number which leaves a remainder of 7 when divided by 12, 15 and 18 each time.
सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 12, 15 और 18 से विभाजित करने पर प्रत्येक बार शेषफल 7 छोड़ती है।
Solution / समाधान
LCM of 12, 15 and 18 = 180. The required number is 180+7 = 187. Correct answer: Option D.
12, 15 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य = 180। अतः आवश्यक संख्या = 180+7 = 187। सही उत्तर: विकल्प D।
What is the value of MATHSTART (0.\overline{1}+0.\overline{2}+0.\overline{3}+\cdots+0.\overline{8})\div4 MATHEND?
MATHSTART (0.\overline{1}+0.\overline{2}+0.\overline{3}+\cdots+0.\overline{8})\div4 MATHEND का मान क्या है?
Solution / समाधान
Since 0.1̅=1/9, 0.2̅=2/9, …, 0.8̅=8/9, their sum is (1+2+3+…+8)/9 = 36/9 = 4. Dividing by 4 gives 4÷4 = 1. Correct answer: Option A.
क्योंकि MATHSTART 0.\overline{1}=\frac19, 0.\overline{2}=\frac29,\ldots, 0.\overline{8}=\frac89 MATHEND, इसलिए योग = MATHSTART \frac{1+2+3+\cdots+8}{9}=\frac{36}{9}=4 MATHEND। अब 4÷4 = 1। सही उत्तर: विकल्प A।
Simplify the expression MATHSTART \frac{\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} MATHEND.
व्यंजक MATHSTART \frac{\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} MATHEND को सरल कीजिए।
Solution / समाधान
Squaring the denominator gives (√2+√3+√5)² = 2+3+5+2√6+2√10+2√15 = 10+√24+√40+√60. Therefore, the numerator equals the denominator, and the expression equals 1. Correct answer: Option B.
हर का वर्ग करने पर MATHSTART (\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=2+3+5+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15} MATHEND = MATHSTART 10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60} MATHEND। अतः अंश और हर बराबर हैं, इसलिए व्यंजक का मान 1 है। सही उत्तर: विकल्प B।
For a right prism, the base area is 54 cm², the perimeter of the base is 30 cm and the height is 8 cm. What is its total surface area?
एक लंब प्रिज्म के लिए, आधार क्षेत्रफल 54 cm², आधार का परिमाप 30 cm और ऊँचाई 8 cm है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
Solution / समाधान
Total surface area of a right prism = 2 × Base area + Base perimeter × Height. Substituting the values, TSA = 2 × 54 + 30 × 8 = 108 + 240 = 348 cm². Correct answer: Option C.
लंब प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × आधार क्षेत्रफल + आधार का परिमाप × ऊँचाई। मान रखने पर, TSA = 2 × 54 + 30 × 8 = 108 + 240 = 348 cm²। सही उत्तर: विकल्प C।
Find the value of sin18°·sec72° + cos18°·cosec72° + tan35°·cot35° without using decimal numbers.
sin18°·sec72° + cos18°·cosec72° + tan35°·cot35° का मान दशमलव संख्याओं का उपयोग किए बिना ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Using complementary angles, sin18° = cos72° and cos18° = sin72°. Therefore, sin18°·sec72° = 1 and cos18°·cosec72° = 1. Also, tan35°·cot35° = 1. Total = 1+1+1 = 3. Correct answer: Option C.
पूरक कोणों के सूत्र से sin18° = cos72° और cos18° = sin72°। इसलिए sin18°·sec72° = 1 तथा cos18°·cosec72° = 1। साथ ही tan35°·cot35° = 1। कुल मान = 1+1+1 = 3। सही उत्तर: विकल्प C।
The ratio of the length, breadth and height of a cuboid is 2:3:6, and its diagonal is 21 cm. Find its volume.
एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 2:3:6 है और इसका विकर्ण 21 cm है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Let the dimensions be 2x, 3x and 6x. Using the diagonal formula, MATHSTART 21=\sqrt{(2x)^2+(3x)^2+(6x)^2}=\sqrt{49x^2}=7x MATHEND. Thus, x=3. Volume = 2x × 3x × 6x = 36x³ = 36 × 27 = 972 cm³. Correct answer: Option C.
आयाम 2x, 3x और 6x मानें। विकर्ण के सूत्र से MATHSTART 21=\sqrt{(2x)^2+(3x)^2+(6x)^2}=\sqrt{49x^2}=7x MATHEND। अतः x=3। आयतन = 2x × 3x × 6x = 36x³ = 36 × 27 = 972 cm³। सही उत्तर: विकल्प C।
A right square pyramid has a base side of 12 cm and a vertical height of 8 cm. What is its total surface area?
एक लंब वर्गाकार पिरामिड की आधार भुजा 12 cm और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई 8 cm है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
Solution / समाधान
Given: Base side = 12 cm and vertical height = 8 cm. Slant height, l = MATHSTART \sqrt{8^2+\left(\frac{12}{2}\right)^2}=\sqrt{64+36}=10\text{ cm} MATHEND. Total surface area = Base area + 1/2 × Perimeter of base × Slant height = MATHSTART 12^2+\frac12\times(4 imes12) imes10=144+240=384\text{ cm}^2 MATHEND. Correct answer: Option C.
दिया है: आधार भुजा = 12 cm और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई = 8 cm। तिर्यक ऊँचाई, l = MATHSTART \sqrt{8^2+\left(\frac{12}{2}\right)^2}=\sqrt{64+36}=10\text{ cm} MATHEND। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आधार क्षेत्रफल + 1/2 × आधार का परिमाप × तिर्यक ऊँचाई = MATHSTART 12^2+\frac12\times(4 imes12) imes10=144+240=384\text{ cm}^2 MATHEND। सही उत्तर: विकल्प C।
If sinθ + cosθ = 1, then the value of sinθ cosθ is:
यदि sinθ + cosθ = 1, तो sinθ cosθ का मान है:
Solution / समाधान
Given, sinθ + cosθ = 1. Squaring both sides gives sin²θ + cos²θ + 2sinθ cosθ = 1. Since sin²θ + cos²θ = 1, we get 1 + 2sinθ cosθ = 1. Therefore, sinθ cosθ = 0. Correct answer: Option A.
दिया है, sinθ + cosθ = 1। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर sin²θ + cos²θ + 2sinθ cosθ = 1। चूँकि sin²θ + cos²θ = 1, इसलिए 1 + 2sinθ cosθ = 1। अतः sinθ cosθ = 0। सही उत्तर: विकल्प A।
A hemispherical bowl has a radius of 9 cm and is completely filled with water. What is its volume?
एक अर्धगोले के आकार के कटोरे की त्रिज्या 9 cm है और यह पूरी तरह पानी से भरा हुआ है। इसका आयतन क्या है?
Solution / समाधान
Volume of a hemisphere = (2/3)πr³. Given r=9 cm. Therefore, volume = (2/3)π × 9³ = (2/3)π × 729 = 486π cm³. Correct answer: Option C.
अर्धगोले का आयतन = MATHSTART \frac23\pi r^3 MATHEND। दिया है r=9 cm। अतः आयतन = MATHSTART \frac23\pi imes9^3=\frac23\pi imes729=486pi\text{ cm}^3 MATHEND। सही उत्तर: विकल्प C।
If tan A + tan² A = 1, find the value of cot² A − cot A.
यदि tan A + tan² A = 1, तो cot² A − cot A का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Let tan A = x. Given, x+x²=1, so 1−x=x². Now, cot² A−cot A = 1/x²−1/x = (1−x)/x². Substituting 1−x=x² gives x²/x²=1. Correct answer: Option B.
माना tan A = x। दिया है x+x²=1, इसलिए 1−x=x²। अब cot² A−cot A = 1/x²−1/x = (1−x)/x²। 1−x=x² रखने पर x²/x²=1। सही उत्तर: विकल्प B।
1 thought on “SSC Selection Post Phase 14 – 16 September 2026 2nd Shift – Maths Solutions”